Coordination Bond

線形代数ネタですが、群論関係でのつまづいたところを共有したいと思います。 [導入]  分子軌道や、分子の振動モードについて理解しようと思うと、「群論」についての理解が必要です。電子遷移スペクトル（UV–vis）を始めとする各種分光で利用する許容や禁制も、対称性の議論が重要なので、避けて通れないトピックスです。みんな大好き（?）な、芳香族性について考えるときも、群論は顔をのぞかせます。さらには、ペリ環状反応が同旋的に進行するか逆旋的に進行するか、なんてことを考える際にもちらっと出てきますね。 私はここで出てくる「 可約表現 」を「 簡約 」して「 既約表現 」にする、というところがスッキリせず苦しみました。 この記事では、アンモニア分子のC3軸周りの回転操作を例に取って話を進めていきますが、この操作を記述する方法はたくさんあります。 水素原子の座標を決めてやり、回転行列と呼ばれる行列を掛けてやることでも回転を表現できます。また、そんなカッコいいものを使わなくても、{ H(水素)1をH2の位置に、H2をH3の位置に、H3をH1の位置にまとめて移動} = C3回転 という操作は、以下のように示してやることもできます。 \begin{align}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{1}\\ H_{2}\\ H_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} H_{2}\\ H_{3}\\ H_{1}\end{pmatrix} \end{align}  複素数を掛けることも回転操作に対応している、というのもどこかで聞いたことがあると思います。 このように見ると、なんでおんなじ事するのに色々あるんだよ！とモヤモヤする方もいると思いますが、逆に考えると、これらの操作に共通する性質があるんちゃう？と見るのが群論です。 （この辺りをサラッと知りたい人はヨビノリの動画もいいですよ。） 同じ操作をするのであれば、一番使いやすい形にしようぜ！ってゆうモチベーションが出てきますよね？上に1と0で書いた操作は、正三角形の頂点に置かれた点の組（つまり点...

\begin{eqnarray} \boldsymbol{ R }=\begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray} 線形代数を触っていると出てくる回転行列 R 、分かったようでわからない。 スペクトルを理解したい→群論を理解したい→線形代数を身につける必要がある　 のような流れで、かならずぶつかると思います。 （当たり前だろって？　線形代数をきちんと勉強したあなたはエラい！） アホみたいな話ですが、非対称にマイナスが右上に出てくる理由について なかなか腹落ちできません。 左回り90°、ぐるりと点を動かすとcos (θ+π/2) = –sin θ ,  sin (θ+π/2) = cos θ で、非対称にマイナス記号が付くことなんかも、この問題と関係している。 （図形を描けば自明でも、不思議ではありませんか？これも昔から気持ち悪かった。） 暗記できても、なんだか気持ち悪いのはよくありません。 しばし思案して、スッキリとしたので備忘録です。 加法定理を使うとスッキリ理解できます。 ❏ 下の図で、単位円上にある点AをA'へと回転させるとしましょう。 A'の座標は、加法定理を使うと以下のように書けます。 （加法定理の図形的理解は、 こちらの図 が分かりやすい） \begin{eqnarray} A' = \begin{pmatrix}\cos(\theta+\phi)\\ \sin(\theta+\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray} 加法定理より、 \begin{eqnarray} \cos(\theta+\phi) =\cos\theta\cos\phi–\sin\theta\sin\phi =\begin{pmatrix}\cos\phi&-\sin\phi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \sin(\theta+\p...

波動関数について勉強していると、いつの間にか慣れ親しんだ波動方程式たちが、いつの間にか行列表記になってギョッとします。 恥ずかしい話ですが、量子力学のスタンダードをきちんと修めずに、研究の現場でいきなり分光から量子力学に入った私のような方は、多かれ少なかれそうなのでは無いかと思います。 私はEPRに興味を持っているのですが、基礎的なEPRの解説書であっても、行列がたくさん出てきます。 （私のような）実験化学者は、シュレディンガーが提案した「波動力学」の体系にのっとった形式で波動関数について学習を進めますが、一定以上ややこしい系になってくると、 ハイゼンベルクや、その師、ボルンらによって確立した「行列力学」の形式を用いると、より簡素な記述ができるようです。 大事なこととして、これら２つの形式で記述される量子力学の結論は全く等価です。 （このあたりの認識がほわっとしていると、なかなか本を読んでも理解が進みません。） 行列力学で書かれた説明を理解しようとすると、時空の彼方においてきた、線形代数の知識を総動員しなければなりません。 繰り返し出てくる、重要な単語が、タイトルのエルミート行列、ユニタリ行列です。 波動力学では、演算子がエルミート性を持つことが、サラリと触れられます。 行列力学では、演算子を行列の形で書きます。演算子を波動関数に掛けるとき、「エルミート行列」との積を取る、とくるわけです。 EMANさんのページ（ 量子力学 、 線形代数 ）などで、非常にわかりやすく行列力学の導入を紹介してくれているのですが、行列が複素数であることなどが相まって、全体像を掴むのに時間がかかります。 行列の定義なんかはググるとくさるほど出てきますが、集合関係がぜんぜんわからないので、 以下のシートを作りました。汚い字で恐縮です。 要は、演算子にあたるエルミート行列は、転置をしてからその複素数をとる、という操作（随伴行列を作るともいう）を行っても、自分と同じものになる性質があるということです。こういう性質をもっていると、行列の固有値が常に実数になります。 これは、式にすると　「A = A†」　と表されます。 転置をしても同じ形になる行列を対称行列と言いますが、この概念を複素数の世界にまで拡張したような行列ということができます。 この対...