Coordination Bond

「運動量演算子」なるものが、量子化学を勉強していると頻繁に出てきます。エネルギーは当然大事だとして、 なんで運動量がこんなにフォーカスされるの？という疑問が化学専攻の方にはあるかもしれません（私はありました）。回りくどいですが、量子化学における運動量について納得するには、運動量と波数の関係について、まずは理解することが大事です。 前回 に続き、量子化学についての記事です。 波の一般的な形は、高校範囲の物理で教えられたかと思います。 \begin{aligned} \psi \left( x,t\right) =A\cos \left\{ 2\pi \left(\dfrac {x}{\lambda } – \dfrac {t}{T}\right) \right\} \end{aligned} ただし、A は振幅、 T  は周期、 t は時間、 x は原点から距離、  λ  は波長 です。 関数の名前は仰々しいものにする必要もないのですが、慣れるために  Ψ を 使いました。後ろの  (t, x) は、時間と距離が変数の関数ですよという意味です。 位置 x  [単位:m] を単位波長    λ  [ m]  で割ることで、無次元の割合に変換し、時間 t  [s] を、周期 [s] で割ることで、同様に無次元数としています。三角関数は 2π でもとに戻るので、これを割合 ( x / λ ) 、 ( t / T ) に掛けてやることで、位置と時間の変位について表現しています。 この式の、(  2π x / λ   ) の部分から、 2π/ λ   を抜き出して  k と置いてみましょう。 ついでに、 (  2π/ T   ) を、角周波数 ω と書き換えます（ 1/ T = 周波数 ( ν とか f  )で、2π ν  = ω ですね。これも高校物理の範囲）。 \begin{aligned} \psi \left(x,t\right) =A\cos \left(kx – \omega t\right) \end{aligned} やたらとス...

量子化学を勉強していて、引っかかってしまうとなかなか抜け出せないポイントというのがあると思います。昔の自分に向けて、Schödinger 方程式に入る前の下ごしらえ部分を記しました。 具体的には、「光の運動量」という概念が、どういう理論や実験で担保されているのかというところだ。光には質量がないという話が一般的だが・・・？ ＿＿＿＿＿＿ 光（電磁波）のエネルギー（ E ）は、プランク定数（ h ）を単位として振動数（ ν ）に比例する。 また、光の振動数を波長（ λ ）と掛け合わせると、光速（ c ）となる。 この関係には、プランク•アインシュタインの関係（ Plank–Einstein relation ）という量子論の巨頭の名前が冠されている。 \begin{align} E = h\nu = h\frac{c}{\lambda} \end{align} 光はエネルギーを持っていることについては、違和感なく受け入れられているとおもいます。 光は運動量も持っていると言われたら？ コンプトンは、様々な物質にX線を当て、その反射を観察しているときに、反射に伴いX線の波長が長くなっている事を見つけた。この実験事実は光が粒子として電子にぶつかって、方向が変わっていると解釈すると納得できる（粒子性の提唱自体は、アインシュタインの功績。 cf. 光電効果）。粒子同士の衝突と考えれば、光にも「運動量」という量を考えてやっても良いのではないか[下図]。（すっ飛ばされた電子のほうは、後に観測された。） 図. コンプトン効果の模式図. 電子が原子から飛び出すのは、光子によって運動量（および運動エネルギー）を与えられたためである。電子が持つX,Y方向の運動量は、光子の運動量を ( h / λ ) として、その X,Y成分を考えてやれば辻褄が合う。高校のときに、こんな問題をやったな。。 運動量とは p = mv で表現されるあれである。量子化学では、やたらと運動量がでてくる。 光の速度は「 c 」として一定、さらに光は質量を持たないと、学校では教えられたような・・・？ このあたりで化学系（私のことです）は、ツボってしまいます。 確かに、ニュートン力学の範囲では上記の形式で十分ですが、光速に近い領域では不十分で、式（２）のような形式で、粒子の...

波動関数について勉強していると、いつの間にか慣れ親しんだ波動方程式たちが、いつの間にか行列表記になってギョッとします。 恥ずかしい話ですが、量子力学のスタンダードをきちんと修めずに、研究の現場でいきなり分光から量子力学に入った私のような方は、多かれ少なかれそうなのでは無いかと思います。 私はEPRに興味を持っているのですが、基礎的なEPRの解説書であっても、行列がたくさん出てきます。 （私のような）実験化学者は、シュレディンガーが提案した「波動力学」の体系にのっとった形式で波動関数について学習を進めますが、一定以上ややこしい系になってくると、 ハイゼンベルクや、その師、ボルンらによって確立した「行列力学」の形式を用いると、より簡素な記述ができるようです。 大事なこととして、これら２つの形式で記述される量子力学の結論は全く等価です。 （このあたりの認識がほわっとしていると、なかなか本を読んでも理解が進みません。） 行列力学で書かれた説明を理解しようとすると、時空の彼方においてきた、線形代数の知識を総動員しなければなりません。 繰り返し出てくる、重要な単語が、タイトルのエルミート行列、ユニタリ行列です。 波動力学では、演算子がエルミート性を持つことが、サラリと触れられます。 行列力学では、演算子を行列の形で書きます。演算子を波動関数に掛けるとき、「エルミート行列」との積を取る、とくるわけです。 EMANさんのページ（ 量子力学 、 線形代数 ）などで、非常にわかりやすく行列力学の導入を紹介してくれているのですが、行列が複素数であることなどが相まって、全体像を掴むのに時間がかかります。 行列の定義なんかはググるとくさるほど出てきますが、集合関係がぜんぜんわからないので、 以下のシートを作りました。汚い字で恐縮です。 要は、演算子にあたるエルミート行列は、転置をしてからその複素数をとる、という操作（随伴行列を作るともいう）を行っても、自分と同じものになる性質があるということです。こういう性質をもっていると、行列の固有値が常に実数になります。 これは、式にすると　「A = A†」　と表されます。 転置をしても同じ形になる行列を対称行列と言いますが、この概念を複素数の世界にまで拡張したような行列ということができます。 この対...